效果率与行为金融学

因为之前对交易的理性与非理性做过一些分析，恰好又看到桑代克的效果率，所以很好奇，长期来看的话，一个人理性交易的是否会收敛到一个稳定值。
于是有了这么一篇文章。

一、问题描述

假定一个交易者在交易时，理性交易的概率为 $p$，非理性交易的概率为 $q = 1 - p$。
理性交易时，赚钱的概率是 $h$，亏钱的概率是 $1 - h$。
非理性交易时，赚钱的概率是 $k$，亏钱的概率是 $1 - k$。
无论是理性交易还是非理性交易，如果结果是赚钱的，那么下次交易时，会增强上次导致赚钱的因素（即更加理性或者更加不理性）。理性增强系数是$\alpha$，非理性的增强系数是$\beta$。
问：长期平衡状态是怎样的？

二、建立数学模型

我们需要建立一个数学模型来描述这一过程，并推导长期的平衡状态。

假设：

• ( P_t ) 表示第 ( t ) 期选择理性交易的概率。
• ( Q_t ) 表示第 ( t ) 期选择非理性交易的概率，即 ( Q_t = 1 - P_t )。
• ( h ) 是理性交易赚钱的概率。
• ( k ) 是非理性交易赚钱的概率。
• $alpha_1$ 是理性交易赚钱时，下一次理性交易概率增加的幅度。
• $alpha_2$ 是理性交易亏钱时，下一次理性交易概率减少的幅度。
• $beta_1$是非理性交易赚钱时，下一次非理性交易概率增加的幅度。
• $beta_2$ 是非理性交易亏钱时，下一次理性交易概率减少的幅度。

1. 理性交易时的转移概率

• 理性交易赚钱的概率为 ( h )，此时 $ P_{t+1} = P_t + (1 - P_t) \cdot \alpha_1 $。
• 理性交易亏钱的概率为 ( 1 - h )，此时 $ P_{t+1} = P_t - P_t \cdot \alpha_2 $。

2. 非理性交易时的转移概率

• 非理性交易赚钱的概率为 ( k )，此时 $ P_{t+1} = P_t - (1 - P_t) \cdot \beta_1 $。
• 非理性交易亏钱的概率为 ( 1 - k )，此时 $ P_{t+1} = P_t + (1 - P_t) \cdot \beta_2 $。

3. 综合模型

结合以上情况，我们可以构建以下模型：

$$
P_{t+1} = P_t \cdot h \cdot (P_t + (1 - P_t) \cdot \alpha_1) + P_t \cdot (1 - h) \cdot (P_t - P_t \cdot \alpha_2) + (1 - P_t) \cdot k \cdot (P_t - (1 - P_t) \cdot \beta_1) + (1 - P_t) \cdot (1 - k) \cdot (P_t + (1 - P_t) \cdot \beta_2)
$$

4. 化简模型

为了简化模型，我们将每一项展开并整理：

$$
P_{t+1} = P_t^2 h + P_t h (1 - P_t) \alpha_1 + P_t^2 (1 - h) - P_t^2 (1 - h) \alpha_2 + P_t (1 - P_t) k - (1 - P_t)^2 k \beta_1 + P_t (1 - P_t) (1 - k) + (1 - P_t)^2 (1 - k) \beta_2
$$

5. 寻找固定点

要找到稳定点 ( P )，我们需要解方程 $ P_{t+1} = P_t $，即：

$$
P = P^2 h + P h (1 - P) \alpha_1 + P^2 (1 - h) - P^2 (1 - h) \alpha_2 + P (1 - P) k - (1 - P)^2 k \beta_1 + P (1 - P) (1 - k) + (1 - P)^2 (1 - k) \beta_2
$$

这个方程可以简化为标准形式的二次方程 $ a P^2 + b P + c = 0 $，其中：

$$
a = 1 + k \beta_1 + \beta_2 - h \alpha_1 - k
$$

$$
b = h + k - k \beta_1 - 2 \beta_2 - 1
$$

$$
c = \beta_2
$$

使用求解二次方程的公式 $ P = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $，我们可以得到 $ P $ 的解：

$$
P = \frac{-(h + k - k \beta_1 - 2 \beta_2 - 1) \pm \sqrt{(h + k - k \beta_1 - 2 \beta_2 - 1)^2 - 4 (1 + k \beta_1 + \beta_2 - h \alpha_1 - k) \beta_2}}{2 (1 + k \beta_1 + \beta_2 - h \alpha_1 - k)}
$$

三、结果解释

结论1. 并不一定会收敛到一个固定值，表明市场是持续混乱的。

结论2. 收敛值可能有2个，表示在特定的市场条件和参数组合下，市场可能有两种不同的稳定状态。市场可以稳定在一个以理性交易为主导的高理性概率状态，也可以稳定在一个以非理性交易为主导的低理性概率状态。

结论3. 按下述条件进行限制，

• 因为理性交易的胜率会高于非理性的交易的胜率，所以通常h> 0.5，且k<0.5；
• 因为损失厌恶的原因，通常alpha_2>alpha_1，beta_2>beta_1；
• 如果非理性赚钱的话，通常会比理性赚钱，激进幅度增加，所以beta_1>alpha_1

可以找到一组参数组合